Question

（本小题满分14分）如图，在边长为的菱形中，，点，分别是边，的中点，，沿将△翻折到△，连接，得到如图的五棱锥，且.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正切值.

Answer 1

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由，，可证平面，进而可证平面；（2）先建立空间直角坐标系，再计算平面和平面的法向量，进而可算出二面角的平面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系，即可得二面角的平面角的正弦值.

试题解析：（1）证明：∵点，分别是边，的中点，

∴∥. 1分

∵菱形的对角线互相垂直，

∴.

∴.

∴，. 2分

∵平面，平面，，

∴平面. 3分

∴平面. 4分

（2）解法1：设，连接，

∵，

∴△为等边三角形.

∴，，，. 5分

在R t△中，，

在△中，，

∴. 6分

∵，，平面，平面，

∴平面. 7分

过作，垂足为，连接，

由（1）知平面，且平面，

∴.

∵，平面，平面，

∴平面. 8分

∵平面，

∴. 9分

∴为二面角的平面角. 10分

在Rt△中，，

在Rt△和Rt△中，，

∴Rt△～Rt△. 11分

∴.

∴. 12分

在Rt△中， . 13分

∴二面角的正切值为. 14分

解法2：设，连接，

∵，

∴△为等边三角形.

∴，，，. 5分

在R t△中，，

在△中，，

∴. 6分

∵，，平面，平面，

∴平面. 7分

以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，. 8分

∴，.

设平面的法向量为，

由，，得 9分

令，得，.

∴平面的一个法向量为. 10分

由（1）知平面的一个法向量为， 11分

设二面角的平面角为，

则. 12分

∴，. 13分

∴二面角的正切值为. 14分

考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间向量及坐标运算；4、同角三角函数的基本关系.

考点分析： 考点1：点、线、面之间的位置关系 考点2：异面直线所成的角 考点3：线面所成的角 试题属性

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