Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中（如图），AD=AA₁=1，AB=2，点E是AB上的动点
（1）若直线D₁E与EC垂直，请你确定点E的位置，并求出此时异面直线AD₁与EC所成的角
（2）求在（1）的条件下求二面角D₁-EC-D所对应的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先由D₁E与EC垂直⇒DE与CE垂直，求得x=1，从而得出点E是AB的中点，再取CD的中点Q，则AQ平行与EC，得到∠D₁AQ是所求的角，最后在三角形中即可解出∠D₁AQ的大小．从而问题解决．（2）由（1）可知∠D₁ED是所求D₁-EC-D的平面角，然后通过解直角三角形即可得到答案．

解答：解：如图，
（1）由D₁E与EC垂直⇒DE与CE垂直
设AE=x，在直角三角形DEC中求得x=1
所以点E是AB的中点
取CD的中点Q，则AQ平行与EC，所以∠D₁AQ是所求的角
求解△D₁AQ得∠D₁AQ=

π

3

，所以异面直线AD₁与EC所成的角为

π

3

． 
（2）由D₁E⊥EC，∴DE与CE垂直，
所以∠D₁ED是所求D₁-EC-D的平面角，
在直角三角形D₁ED 中，cos∠D₁ED=

DD1

D1E

=

6

3

．

点评：本题考查线线垂直的判定、空间角的计算，考查空间想象、计算能力．