Question

【题目】已知函数， .

（1）求函数在的最小值；

（2）若函数与的图象恰有一个公共点，求实数的值；

（3）若函数有两个不同的极值点，且，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由，得极值点为，分情况讨论及时，函数的最小值；（Ⅱ）当函数有两个不同的极值点，即有两个不同的实根，问题等价于直线与函数的图象有两个不同的交点，由单调性结合函数图象可知当时， 存在，且的值随着的增大而增大，而当时，由题意， 代入上述方程可得，此时实数的取值范围为.

试题解析：（Ⅰ）由，可得，

①时，函数在上单调递减，在上单调递增，

函数在上的最小值为，

②当时，在上单调递增，

，

；

（Ⅱ），则

题意即为有两个不同的实根，

即有两个不同的实根，

等价于直线与函数的图像有两个不同的交点，

， 在上单调递减，在上单调递增，

画出函数图像的大致形状（如右图），

由图像知，当时， 存在，且的值随着的增大

而增大，而当时，由题意，

两式相减可得

代入上述方程可得，

此时，

所以，实数的取值范围为；