Question

已知函数f（x）=mx-

m

x

-lnx，若f（x）在其定义域内是单调增函数，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由题意可得，当x＞0时，f′（x）=m+

m

x2

-

1

x

≥0恒成立．即当x＞0时，m≥

1

x+ 1 x

．而由基本不等式可得

1

x+ 1 x

得最大值，可得m的范围．

解答：解：由于函数f（x）=mx-

m

x

-lnx，x＞0，f（x）在其定义域内是单调增函数，
∴当x＞0时，f′（x）=m+

m

x2

-

1

x

≥0恒成立．
即当x＞0时，m≥

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

．
而由基本不等式可得

1

x+ 1 x

≤

1

2

，
即

1

x+ 1 x

得最大值为

1

2

，故有m≥

1

2

，
故答案为：[

1

2

，+∞）．

点评：本题主要考查函数的单调性与导数的关系，基本不等式的应用，属于中档题．