Question

（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F．
(I) 证明：PA∥平面EDB；
(II) 证明：PB⊥平面EFD；
(III) 求三棱锥的体积．

Answer 1

解：（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO
∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点
在中，EO是中位线，∴PA // EO
而平面EDB且平面EDB，
所以，PA // 平面EDB．                              ．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）证明：∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD，∴
∵PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，
∴   ①
同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC
而平面PDC，∴   ②
由①和②推得平面PBC
而平面PBC，∴
又且，所以PB⊥平面EFD
．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
（3）∵，
由PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，
又∵BC⊥CD，PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD，
∴BC⊥PC．
在△BDE中，，
∴    ，即DE⊥BE．
而由（2），PB⊥平面EFD，有PB⊥DE，因而DE⊥平面BEF，
在Rt△BPD中，，；Rt△BEF中，．
∴．   ．．．．．．．．14分