题目内容

如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，已知∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，AB=BC=2，AD=1．
（1）当SA=2时，求直线SA与平面SCD所成角的正弦值；
（2）若平面SCD与平面SAB所成角的余弦值为 $数学公式$ ，求SA的长．

解：以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系． $\text{[math]}$
各点坐标 A（0，0，0）S（0，0，2）D（1，0，0）C（2，2，0）
$\text{[math]}$ =（1，0，-2） $\text{[math]}$ =（2，2，-2），
设面SCD的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ 取z=1．则 $\text{[math]}$
又 $\text{[math]}$ =（0，0，2）
|cos $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．∴直线SA与平面SCD所成角的正弦值等于 $\text{[math]}$ ．
（2）设SA=a，则 S（0，0，a）， $\text{[math]}$ =（1，0，-a） $\text{[math]}$ =（2，2，-a），
设面SCD的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ 取z=1．则 $\text{[math]}$
又面SAB的一个法向量为 $\text{[math]}$ =（1，0，0），|cos＜ $\text{[math]}$ ＞|= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得a= $\text{[math]}$
分析：（1）建立空间直角坐标系，求出SCD 的法向量 $\text{[math]}$ ，利用 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角余弦得值去解决．
（2）求出平面SCD与平面SAB 的法向量 $\text{[math]}$ ，利用面SCD与平面SAB所成角与 $\text{[math]}$ 的夹角相等或互补的关系去解决．
点评：本题考用空间向量解决直线和平面位置关系、二面角大小，考查转化的思想方法，空间想象能力，计算能力．属于常规题目．