如图是某种可固定在墙上的广告金属支架模型.其中AD=6.C是AB的中点.∠BCD=$\frac{π}{3}$.∠BAD=θ(θ∈($\frac{π}{9}$.$\frac{π}{3}$)(Ⅰ)若θ=$\frac{π}{4}$.求AB的长,(Ⅱ) 求BD的长f的最小值,(Ⅲ) 经市场调查发现.某地对该种金属支架的需求量与θ有关.且需求量g(θ)的函数关系式为g(θ)=4sin6θ+6θ.试探� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．

如图是某种可固定在墙上的广告金属支架模型，其中AD=6，C是AB的中点，∠BCD=$\frac{π}{3}$，∠BAD=θ（θ∈（$\frac{π}{9}$，$\frac{π}{3}$）
（Ⅰ）若θ=$\frac{π}{4}$，求AB的长；
（Ⅱ）求BD的长f（θ），并求f（θ）的最小值；
（Ⅲ）经市场调查发现，某地对该种金属支架的需求量与θ有关，且需求量g（θ）的函数关系式为g（θ）=4sin6θ+6θ（单位：万件），试探究是否存在某种规格的金属支架在当地需求量为零？并说明理由．

分析（Ⅰ）若θ=$\frac{π}{4}$，由正弦定理得AC，即可求AB的长；
（Ⅱ）由余弦定理得BD的长f（θ），利用三角函数的性质，即可求f（θ）的最小值；
（Ⅲ）设x=6θ，x∈（$\frac{2π}{3}$，2π），令h（x）=4sinx+x，问题转化为在（$\frac{2π}{3}$，2π）是否存在x的值，使是h（x）=0，分类讨论可得结论．

解答解：（Ⅰ）在△ACD中，已知AD=6，∠ACD=$\frac{2π}{3}$，∠ADC=$\frac{π}{3}$-θ，
由正弦定理得：$\frac{AC}{sin（\frac{π}{3}-θ）}=\frac{AD}{sin\frac{2π}{3}}$，
故AC=4$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{3}$-θ）．…（2分）
当θ=$\frac{π}{4}$时，AC=4$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$
故AB的长为6$\sqrt{2}$-2$\sqrt{6}$．　　　                         …（4分）
（Ⅱ）在△ABD中，已知AD=6，AB=8$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{3}$-θ），∠BAD=θ，
由余弦定理得：BD²=AD²+AB²-2AD•AB•cosθ　　　                  …（5分）
=36+[8$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{3}$-θ）]²-24×4$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{3}$-θ）cosθ
=60-48sin（2θ+$\frac{π}{6}$）　                    …（7分）
因为θ∈（$\frac{π}{9}$，$\frac{π}{3}$），所以2θ+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{7π}{18}$，$\frac{5π}{6}$），即sin（2θ+$\frac{π}{6}$）≤1
所以BD≥$\sqrt{60-48}$=2$\sqrt{3}$，
则BD的最小值为2$\sqrt{3}$，此时sin（2θ+$\frac{π}{6}$）=1，即θ=$\frac{π}{6}$．…（9分）
（Ⅲ）设x=6θ，x∈（$\frac{2π}{3}$，2π），令h（x）=4sinx+x，
问题转化为在（$\frac{2π}{3}$，2π）是否存在x的值，使是h（x）=0，…（10分）
①当x∈（4，2π）时，|sinx|≤1，必有h（x）=4sinx+x＞0；
②当x∈（$\frac{2π}{3}$，4]时，h′（x）=4cosx+1＜0，在x∈（$\frac{2π}{3}$，$\frac{4π}{3}$）恒成立，h（x）在区间（$\frac{2π}{3}$，$\frac{4π}{3}$）递减，
于是h（x）≥h（4）＞h（$\frac{4π}{3}$）=4sin$\frac{4π}{3}$+$\frac{4π}{3}$＞-2$\sqrt{3}$+4＞0
综上，在（$\frac{2π}{3}$，2π），h（x）＞0恒成立，故不存在某种规格的金属支架，在当地需求量为零．…（13分）