Question

13．已知函数f（x）=x²+bx+4满足f（1+x）=f（1-x），且函数g（x）=a^x（a＞0且a≠1）与函数y=log₃x互为反函数．
（1）求函数f（x），g（x）的解析式；
（2）函数y=f（g（x））-m在x∈[-1，2]上有零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由于函数f（x）=x²+bx+4满足f（1+x）=f（1-x），可得$-\frac{b}{2}$=1，解得b可得f（x）．由于函数g（x）=a^x（a＞0且a≠1）与函数y=log₃x互为反函数，可得a=3，即可得出g（x）．
（2）函数y=f（3^x）-m=（3^x）²-2•3^x+4-m，令3^x=t，由于x∈[-1，2]，可得$t∈[\frac{1}{3}，9]$．则h（t）=t²-2t+4-m=（t-1）²+3-m．由于h（t）在$t∈[\frac{1}{3}，9]$有零点．可得$\left\{\begin{array}{l}{3-m≤0}\\{h（9）=67-m≥0}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x²+bx+4满足f（1+x）=f（1-x），∴$-\frac{b}{2}$=1，解得b=-2，∴f（x）=x²-2x+4．
∵函数g（x）=a^x（a＞0且a≠1）与函数y=log₃x互为反函数，∴a=3，∴g（x）=3^x．
（2）函数y=f（g（x））-m=f（3^x）-m=（3^x）²-2•3^x+4-m，
令3^x=t，∵x∈[-1，2]，∴$t∈[\frac{1}{3}，9]$．
则h（t）=t²-2t+4-m=（t-1）²+3-m，
∵h（t）在$t∈[\frac{1}{3}，9]$有零点．
∴$\left\{\begin{array}{l}{3-m≤0}\\{h（9）=67-m≥0}\end{array}\right.$，
解得3≤m≤67．
∴实数m的取值范围是[3，67]．

点评 本题考查了二次函数的图象与性质、指数函数的性质、换元法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．