Question

【题目】如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．

（1）求证：PA⊥BD；

（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；

（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）

【解析】

（1）由，得到平面，从而得到．

（2）依据等腰及是中点得到，结合（1）中结论，可证明平面从而得到要求证的面面垂直．

（3）根据线面平行可得，从而为到平面的距离，为等腰直角三角形且腰长为，故可求的面积从而求得三棱锥的体积．

解：（1）证明：由， ，

平面，平面，且，

可得平面，由平面，可得；

（2）证明：由，为线段的中点，

可得，由平面，平面，

可得平面平面，又平面平面，

平面，且，即有平面，

平面，可得平面平面；

（3）平面，平面，且平面平面，

可得，又为的中点，

可得为的中点，且，

由平面，可得平面，

故，

则三棱锥的体积为．