题目内容
2．设函数f（x）=（x-2）lnx-ax+1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（ ）| A． | （0，$\frac{1+ln3}{3}$） | B． | （$\frac{1}{2}$，$\frac{1+ln3}{3}$] | C． | （$\frac{1+ln3}{3}$，1） | D． | [$\frac{1+ln3}{3}$，1） |
分析 设g（x）=（x-2）lnx，h（x）=ax-1，问题转化为存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax-1的下方，求导数判断单调性，数形结合可得g（1）≥h（1）=a-1且h（3）=3a-1≤g（3）=ln3，h（2）＞g（2），解关于a的不等式组可得．
解答 
解：设g（x）=（x-2）lnx，h（x）=ax-1，
由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=h（x）=ax-1的下方，
∵g′（x）=lnx+1-$\frac{2}{x}$，
∴当x≥2时，g′（x）＞0，当0＜x≤1时，g′（x）＜0，
当x=1时，g（1）=0，当x=1时，h（1）=a-1＜0，即a≤1．
直线y=ax-1恒过定点（0，-1）且斜率为a，
由题意结合图象可知，存在唯一的整数x0=2，f（x0）＜0，
故h（2）=2a-1＞g（2）=0，h（3）=3a-1≤g（3）=ln3，解得$\frac{1}{2}$＜a≤$\frac{1+ln3}{3}$．
故选：B．
点评 本题考查导数的运用：判断单调性，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．
练习册系列答案
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12．设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2-x），当x∈[0，2]时，f（x）=（$\sqrt{2}$）x-1，若关于x的方程f（x）-loga（x+2）=0（a＞0且a≠1）在区间（-2，6）内恰有4个不等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
| A． | （$\frac{1}{4}$，1） | B． | （1，4） | C． | （1，8） | D． | （8，+∞） |
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，△ABC是边长为1正三角形，CD=DA=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，AC与BD的交点为M，点N在线段PB上，且PN=$\frac{1}{2}$．若二面角A-BC-P的正切值为2$\sqrt{2}$．