Question

如图，已知四边形为梯形，， ，四边形为矩形，且平面平面，，点为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积．

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）．

试题分析：（Ⅰ）取中点，可以证明四边形为平行四边形，即，∴∥平面；
（Ⅱ）证明平面即可；（Ⅲ）改变四面体（三棱锥）的顶点，取C即可；或者利用比例．
试题解析：（Ⅰ）取中点，连．

∵为对角线的中点，∴，且，
∴四边形为平行四边形，即；或者可以采用比例的方法求解．
又∵平面，平面，∴∥平面．             4分
（Ⅱ）∵四边形为矩形，且平面平面，∴平面，∴；
∵四边形为梯形，，且，∴．
又在中，，且，∴，，∴．
于是在中，由，，及余弦定理，得．
∴，∴．∴平面，
又∵平面，∴平面平面．                   9分
（Ⅲ）作，垂足为，由平面平面得平面．
易求得，所以三棱锥的体积为
．       13分．
【法二】连接，则、、三点共线，故