Question

（2008•如东县三模）如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为1的正方体，P-A₁B₁C₁D₁是四棱锥，且P∈平面DCC₁D₁，PD₁=PC₁=

5

2

．
（1）求直线PA₁与平面A₁B₁C₁D₁所成角的正切值；
（2）求证：直线PA₁平行于平面ABC₁D₁；
（3）求点P到平面ABC₁D₁的距离．

Answer 1

分析：（1）作PM⊥C₁D₁于M点，则M为C₁D₁的中点，连接AM．由正方体的性质和面面垂直性质定理，证出PM⊥平面A₁B₁C₁D₁，得∠PA₁M就是直线PA₁与平面A₁B₁C₁D₁所成角．Rt△PA₁M中算出A₁M、PM的长，求出tan∠PA₁M的值，即可得到直线PA₁与平面A₁B₁C₁D₁所成角的正切值；
（2）由（1）的结论，证出PM与AA₁平行且相等，因此四边形AMPA₁是平行四边形，得PA₁∥AM，利用直线与平面平行的判定定理即可证直线PA₁平行于平面ABC₁D₁；
（3）由前面的结论PA₁∥平面ABC₁D₁，得P点到平面ABC₁D₁的距离等于于A₁到平面ABC₁D₁的距离，因此在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中求出点A到平面ABC₁D₁的距离，即得点P到平面ABC₁D₁的距离．

解答：解：（1）作PM⊥C₁D₁于M点，则M为C₁D₁的中点，连接AM．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为1的正方体，P∈平面DCC₁D₁，
∴平面PC₁D₁⊥平面A₁B₁C₁D₁
∵平面PC₁D₁∩平面A₁B₁C₁D₁=C₁D₁，PM⊥C₁D₁
∴PM⊥平面A₁B₁C₁D₁，可得∠PA₁M就是直线PA₁与平面A₁B₁C₁D₁所成角
∵PD₁=PC₁=

5

2

，∴PM=

D1P2-D1M2

=

5 4 - 1 4

=1
Rt△PA₁M中，A₁M=

1+ 1 4

=

5

2

∴tan∠PA₁M=

PM

A1M

=

2 5

5

，
即直线PA₁与平面A₁B₁C₁D₁所成角的正切值等于

2 5

5

；
（2）连结AM，由（1）得PM=AA₁=1
又∵PM⊥平面A₁B₁C₁D₁，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
∴PM∥AA₁，可得四边形AMPA₁是平行四边形，得PA₁∥AM
∵PA₁?平面ABC₁D₁，AM?平面ABC₁D₁，
∴PA₁∥平面ABC₁D₁；
（3）连接A₁D，则A₁D⊥AD₁，设垂足为O．
∵平面ABC₁D₁⊥平面ADD₁A₁，平面ABC₁D₁∩平面ADD₁A₁=AD₁
∴A₁D⊥平面ABC₁D₁
由正方体的性质，可得点A₁到平面ABC₁D₁的距离A₁0=

2

2

由（2）PA₁∥平面ABC₁D₁，可得点P到平面ABC₁D₁的距离即为点A₁到平面ABC₁D₁的距离．
∴点P到平面ABC₁D₁的距离为

2

2

．

点评：本题给出正方体上拓展出一个四棱锥，求线面所成角的正切，证明线面平行并且求点到平面的距离．着重考查了正方体的性质、线面平行的判定定理和点面距离的求法等知识，属于中档题．