Question

等差数列{a_n}中，首项a₁=1，公差d≠0，前n项和为S_n，已知数列，，，…，，…成等比数列，其中k₁=1，k₂=2，k₃=5．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{k_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=，数列{b_n}的前n项和为T_n．若存在一个最小正整数M，使得当n＞M时，S_n＞4T_n（n∈N*）恒成立，试求出这个最小正整数M的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由a₂²=a₁a₅，得（1+d）2=1（1+4d），
解得d=2，
∴a_n=2n﹣1，
∴=2k_n﹣1，在等比数列中，公比q==3，
∴=3 ^n﹣1，∴2k_n﹣1=3^n﹣1，解得k_n=．
（Ⅱ）b_n==，则
++…+，
T_n=+…++，
两式相减得：T_n=1++…+﹣=2﹣，
∴T_n=3﹣
∵T_n+1﹣T_n=＞0，
∴T_n单调递增，
∴1≤Tn＜3．
又在n∈N*时单调递增．
且S₁=1，4T₁=4；S₂=4，4T₂=8；S₃=9，4T₃=；S₄=16＞12，4T₄＜12；…．
n＞3时，S_n＞4T_n恒成立，则所求最小正整数M的值为3．