Question

已知：0＜α＜

π

2

＜β＜π，cos（β-

π

4

）=

1

3

，sin（α+β）=

4

5

．
（1）求sin2β的值；
（2）求cos（α+

π

4

）的值．

Answer 1

分析：（1）法一：直接利用两角差的余弦函数展开，再用方程两边平方，求sin2β的值；
     法二：利用sin2β=cos（

π

2

-2β），二倍角公式，直接求出sin2β的值；
（2）通过题意求出sin（β-

π

4

）=

2 2

3

，cos（α+β）=-

3

5

，根据cos（α+

π

4

）=cos[（α+β）-（β-

π

4

）]，展开代入数据，即可求cos（α+

π

4

）的值．

解答：解：（1）法一：∵cos（β-

π

4

）=cos

π

4

cosβ+sin

π

4

sinβ
=

2

2

cosβ+

2

2

sinβ=

1

3

．
∴cosβ+sinβ=

2

3

．
∴1+sin2β=

2

9

，∴sin2β=-

7

9

．
法二：sin2β=cos（

π

2

-2β）
=2cos²（β-

π

4

）-1=-

7

9

．
（2）∵0＜α＜

π

2

＜β＜π，∴

π

4

＜β-

π

4

＜

3π

4

，

π

2

＜α+β＜

3π

2

．
∴sin（β-

π

4

）＞0，cos（α+β）＜0．
∵cos（β-

π

4

）=

1

3

，sin（α+β）=

4

5

，
∴sin（β-

π

4

）=

2 2

3

，cos（α+β）=-

3

5

．
∴cos（α+

π

4

）=cos[（α+β）-（β-

π

4

）]
=cos（α+β）cos（β-

π

4

）+sin（α+β）sin（β-

π

4

）
=-

3

5

×

1

3

+

4

5

×

2 2

3

=

8 2 -3

15

．

点评：本题是基础题，考查三角函数的化简与求值，角的变换技巧在三角函数化简求值中应用比较普遍，不仅体现一个人的解题能力，同时体现数学素养的高低，可以说是智慧与能力的展现题目．