Question

1．某港口海水的深度y（米）是时间t（小时）（0≤t≤24）的函数，记为y=f（t）
已知某日海水深度的数据如下：

t（小时）	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y（米）	8.0	11.0	7.9	5.0	8.0	11.0	8.1	5.0	8.0

经长期观察，y=f（t）的曲线可近似地看成函数y=Asinωt+b，ω＞0的图象．
（1）试根据以上数据，画出函数y=f（t），t∈[0，24]的图象；
（2）写出函数y=Asinωt+b的近似振幅、最小正周期和表达式；
（3）一般情况下，船舶航行时，船底的距离为4米或4米以上时认为是安全的（船舶）停靠时，船底只需不碰海底即可）．某船吃水深度（船底离水面的距离）为5.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（船进出港所需时间忽略不计）？

Answer 1

分析 （1）根据已知建立直角坐标系，然后描点连线即可得到函数y=f（t），t∈[0，24]的图象．
（2）依题意可得T，振幅A，b的值，由周期公式可求ω，从而可求函数表达式．
（3）由题意可得$3sin（\frac{π}{6}•t）+8≥9.5$，解得$2kπ+\frac{π}{6}≤\frac{π}{6}•t≤2kπ+\frac{5π}{6}，\;\;k∈Z$，即12k+1≤t≤12k+5，k∈Z，又0≤t≤24，求得t的范围，即可得解．

解答 解：（1）函数y=f（t），t∈[0，24]的图象如下：

…（4分）
（2）依题意有：最小正周期为T=12，振幅：A=3，b=8，
$ω=\frac{2π}{T}=\frac{π}{6}$，
$y=3sin（\frac{π}{6}•t）+8\;\;\;\;\;\;\;\;（t∈[0，24]）$，…（8分）
（3）该船安全进出港，需满足：y≥5.5+4
即$3sin（\frac{π}{6}•t）+8≥9.5$，
得：$sin（\frac{π}{6}•t）≥\frac{1}{2}$，
∴$2kπ+\frac{π}{6}≤\frac{π}{6}•t≤2kπ+\frac{5π}{6}，\;\;k∈Z$，
∴12k+1≤t≤12k+5，k∈Z，
又0≤t≤24∴1≤t≤5或13≤t≤17，
依题意：该船在同一天内至多能在港内停留：17-1=16（小时）．…（12分）

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象与性质，属于基本知识的考查．