Question

已知：一个圆锥的底面半径为R=2，高为H=4，在其中有一个高为x的内接圆柱．
（1）写出圆柱的侧面积关于x的函数；
（2）x为何值时，圆柱的侧面积最大．

Answer 1

分析：（1）画出圆锥的轴截面，将空间问题转化为平面问题，然后根据相似三角形的性质和比例的性质，得出内接圆柱底面半径r与x关系式，利用由圆柱的侧面积公式，得到函数解析式，
（2）根据二次函数的性质易得到其最大值，及对应的x的值．

解答：解：（1）设内接圆柱底面半径为r，
S_圆柱侧=2πrx①，∵

r

R

=

H-x

H

∴r=

R

H

(H-x)=

1

2

(4-x)
②代入①得S_圆柱侧=2πx•

1

2

(4-x)=π（-x²+4x）（0＜x＜4）
（2）S_圆柱侧=-π（x-2）2+4π，所以x=2时，圆柱的侧面积最大，最大为4π

点评：本题考查的知识点是圆锥的几何特征及圆锥及圆柱的侧面积公式，将空间问题转化为平面问题是解答立体几何题最常用的思路．