Question

已知不重合的两个点P（1，cosx），Q（cosx，1）x∈[-

π

4

，

π

4

]，O为坐标原点．
（1）求

OP

与

OQ

夹角的余弦值f（x）的解析式及其值域；
（2）求△OPQ的面积S（x），并求出其取最大值时，

OP

•

OQ

的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中点P（1，cosx），Q（cosx，1）的坐标，进而根据cosθ=

OP • OQ

| OP || OQ |

，我们可以求出余弦值f（x）的解析式，结合x∈[-

π

4

，

π

4

]及对勾函数的单调性，易得到函数f（x）的值域；
（2）由（1）中结论，代入△OPQ的面积公式，我们易确定出函数S（x）的表达式，进而根据及求出面积S（x）的最大值，及对应的x值，代入即可求出

OP

•

OQ

的值．

解答：解：（1）cosθ=

OP • OQ

| OP || OQ |

=

2cosx

1+cos2x

，
∵P，Q不重合，∴x∈[-

π

4

，0)∪(0，

π

4

]，…（2分）
∵cosx＞0，

1

2

≤cosx＜1，因此f（x）=

2cosx

1+cos2x

=

2

cosx+ 1 cosx

，…（4分）
由函数g(t)=t+

1

t

，t∈[

1

2

，1)的单调性，得

2 2

3

≤f(x)＜1．…（6分）
（2）S（x）=

1

2

|

OP

||

OQ

|sinθ=

1

2

(1+cos2x)sinθsinθ=

1-cos2θ

=

sin2x

1+cos2x

…（8分）
∴S（x）=

1

2

sin2x，0＜sin2x≤

1

2

，…（10分）
当x=±

π

4

，S（x）取最大值

1

4

，

OP

•

OQ

=2cos

π

4

=

2

．…（12分）

点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积的坐标表示，平面向量数量积的运算，其中（1）的关键是确定出f（x）的解析式，（2）的关键是函数S（x）的表达式．