Question

3．设f（x）=sinx+sin（x+$\frac{π}{6}$）-cos（x+$\frac{4π}{3}$）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）若锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c．且f（A）=$\sqrt{2}$，a=2，b=$\sqrt{6}$，求角C及边c．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用诱导公式、和差化积公式、积化和差公式进行计算得到f（x）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），据此求得其最小正周期和单调区间；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论得到$\sqrt{2}sin（{A+\frac{π}{4}}）=\sqrt{2}$，易得A=$\frac{π}{4}$．由正弦定理得到：sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．结合角B的取值范围和特殊角的三角函数值推知角B的大小，利用三角形内角和定理可以求得角C的大小，所以由余弦定理来求c的值即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=sinx+sin（x+$\frac{π}{6}$）-cos（x+$\frac{4π}{3}$），
=sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx-（-$\frac{1}{2}$）cosx+（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）sinx，
=sinx+cosx，
=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
∴f（x）的最小正周期T=2π．
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$（k∈Z），得
2kπ+$\frac{π}{4}$≤x≤2kπ+$\frac{5π}{4}$（k∈Z），故f（x）的单调递减区间是[2kπ+$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{5π}{4}$]（k∈Z）；
（Ⅱ）∵在锐角△ABC中，f（A）=$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}sin（{A+\frac{π}{4}}）=\sqrt{2}$，即sin（A+$\frac{π}{4}$）=1．由0≤A≤$\frac{π}{2}$，得A=$\frac{π}{4}$．
∵a=2，b=$\sqrt{6}$，
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，得sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
由0≤B≤$\frac{π}{2}$，得B=$\frac{π}{3}$．故C=π-A-B=π-$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{12}$．
由余弦定理，c²=a²+b²-2abcosC=4+6-2×2×$\sqrt{6}$cos$\frac{5π}{12}$=10-4$\sqrt{6}$×$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$=4+2$\sqrt{3}$，
故c=$\sqrt{3}$+1．

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理，三角函数的周期性和单调性，函数y=Asin（ωx+φ），x∈R及函数y=Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T=2π÷ω．