Question

设定义域为R的函数f(x)＝则关于x的方程f²(x)＋bf(x)＋c＝0有7个不同实数解的充要条件是

[　　]

A．b＜0且c＞0

B．b＞0且c＜0

C．b＜0且c＝0

D．b≥0且c＝0

Answer 1

答案：C
解析：

解析：先利用函数图象的变换(翻折变换)作出f(x)的图象，如图． 　　注意f(x)＝0有三个根x1＝0．x2＝1，x3＝2，且有f(x)≥0，令f(x)＝t≥0，则方程为：t2＋bt＋c＝0有实数解(t≥0)需满足：t1＋t2＝－b≥0，即b≤0，t1·t2＝c≥0，排除B，D(因B项：c＜0，D项b≥0＝．时于A不妨令b＝－3，c＝2，则方程为t2－3t＋2＝0．解之t1＝1，t2＝2，即f(x)＝1，或f(x)＝2，由图知有8个根，排除A．故选C．实际上当b＜0，且c＝0时，f2(x)＋bf(x)＝0，f(x)＝0，或f(x)＝－b＞0．由f(x)＝－b＞0，结合图象，此时有4个根，f(x)＝0有根为0，1，2．计7个．

提示：

本题主要考查方程根的问题，充要条件等知识．通过数形结合法、筛选法获得正确答案．