Question

已知函数，数列是公差为d的等差数列，是公比为q（）的等比数列.若
(Ⅰ)求数列，的通项公式；     
(Ⅱ)设数列对任意自然数n均有，求 的值；
(Ⅲ)试比较与的大小.

Answer 1

（1），  （2）        （3）

试题分析：(Ⅰ) ∵ ， ∴ .
即 ， 解得 d =2.
∴ . ∴     2分
∵ , ∴ .
∵ , ∴ .
又， ∴ .  4分
(Ⅱ) 由题设知 ， ∴.
当时, ,
,
两式相减,得.
∴  (适合).  7分
设T=,
∴

两式相减 ,得


.
∴ .  10分
(Ⅲ) ,  .
现只须比较与的大小.
当n=1时, ；
当n=2时, ；
当n=3时, ；
当n=4时, .
猜想时，.     12分            
用数学归纳法证明
(1)当n=2时，左边，右边，成立.
(2)假设当n=k时, 不等式成立，即.
当n=k+1时,
.
即当n=k+1时，不等式也成立.
由（1）（2），可知时，都成立.
所以 （当且仅当n＝1时，等号成立）
所以.即.    14分
点评：主要是考查了等差数列和等比数列的通项公式和求和运用，以及数学归纳法来猜想证明大小，属于难度试题。