Question

在△ABC中，已知AB=2，BC=1，，分别在边AB、BC、CA上取点D、E、F，使得△DEF为正三角形．设∠FEC=a，问sinα取何值时，△DEF的边长最短，并求此最短边长．

Answer 1

答案：略
解析：

如图所示，∵AB=2，BC=1，， ∴， ∴∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°， ∵∠FEC=α， ∴∠EFC=90°－α， 又∵△DEF等边三角形，∠DFE=60°， ∴∠AFD=180°－60°－(90°－α)=30°＋α． ∵∠A=30°， ∴∠ADF=180°－30°－(30°＋α)=120°－α． 设CF=x，则．在△ADF中，有 ∠A=30°，∠ADF=120°－α，， 则由正弦定理，得． 在Rt△ECF中，x=DF·sinα， ∴， 化简得，， 当，即， 即时，最小边长为．

提示：

此题在题目中已比较明确地指明了解题思路，即应寻求△DEF最小边长的函数，并且自变量为α，再求以α为自变量的函数的最小值，这是求最值中的常用方法．