Question

已知函数f（x）=ax²+bx+3a+b是定义在[a-1，2a]（a，b∈R）上的偶函数，则f（x）的值域为

[1，

31

27

]

．

Answer 1

分析：根据函数是偶函数的性质列出方程组，求出a和b，代入求出函数解析式和定义域对应的区间，根据函数在定义域上的单调性，求出最大值和最小值，即求出值域．

解答：解：∵f（x）=ax²+bx+3a+b是[a-1，2a]上的偶函数，
∴

b=0 a-1+2a=0

，∴a=

1

3

，b=0，
∴f（x）=

1

3

x²+1，定义域是[-

2

3

，

2

3

]，
∴f（x）在[-

2

3

，0]上单调递减，在[0，

2

3

]上单调递增，
∴当x=0时，f（x）取最小值为1，
当x=±

2

3

时，f（x）取最大值为

31

27

，
∴f（x）的值域为[1，

31

27

]，
故答案为：[1，

31

27

]．

点评：本题考查了函数是偶函数的性质，及二次函数求最值问题，要掌握二次函数是偶函数的充要条件，二次函数的最值与二次函数的开口方向和对称轴有关．属于基础题．