Question

已知函数f（x）=x³+3ax²+3x+1．
（ I）求a=-

2

时，讨论f（x）的单调性；
（ II）若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）把a=-

2

代入可得函数f（x）的解析式，求导数令其为0可得x=

2

+1或x=

2

-1，判断函数在区间（-∞，

2

-1），（

2

-1，

2

+1），（

2

+1，+∞）的正负可得单调性；
（II）由f（2）≥0，可得a≥-

5

4

，当x∈（2，+∞）时，由不等式的证明方法可得f′（x）＞0，可得单调性，进而可得当x∈[2，+∞）时，有f（x）≥f（2）≥0成立，进而可得a的范围．

解答：解：（I）当a=-

2

时，f（x）=x³-3

2

x²+3x+1，
f′（x）=3x²-6

2

x+3，令f′（x）=0，可得x=

2

+1或x=

2

-1，
当x∈（-∞，

2

-1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（

2

-1，

2

+1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（

2

+1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
（II）由f（2）≥0，可解得a≥-

5

4

，
当a≥-

5

4

，x∈（2，+∞）时，
f′（x）=3（x²+2ax+1）≥3（x²-

5

2

x+1）=3（x-

1

2

）（x-2）＞0，
所以函数f（x）在（2，+∞）单调递增，于是当x∈[2，+∞）时，f（x）≥f（2）≥0，
综上可得，a的取值范围是[-

5

4

，+∞）

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及函数的最值问题，属中档题．