题目内容

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD．SD=2， $数学公式$ ，E是SD上的点．
（Ⅰ）求证：AC⊥BE；
（Ⅱ）求二面角C-AS-D的余弦值．

解：法一（Ⅰ）连接BD．因为底面ABCD是正方形，
所以AC⊥BD．因为SD⊥平面ABCD，
AC?平面ABCD，所以AC⊥SD．（2分）
又因为SD∩BD=D，所以AC⊥平面BDS．（4分）
因为BE?平面BDS，所以AC⊥BE．（6分）

（Ⅱ）因为SD⊥平面ABCD，所以SD⊥CD．
因为底面ABCD是正方形，所以AD⊥CD．
又因为SD∩AD=D，所以CD⊥平面SAD，
所以CD⊥AS．（8分）
过点D在平面SAD内作DF⊥AS于F，连接CF．
由于，DF∩CD=D，所以AS⊥平面DCF．所以AS⊥CF．
故∠CFD是二面角C-AS-D的平面角．（10分）
在Rt△ADS中，SD=2， $\text{[math]}$ ，可求得 $\text{[math]}$ ．
在Rt△CFD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，可求得 $\text{[math]}$ ．
所以 $\text{[math]}$ ．即二面角C-AS-D的余弦值为 $\text{[math]}$ ．（12分）

法二：（Ⅰ）如图以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz．
则D（0，0，0），A（ $\text{[math]}$ ，0，0），B（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，0），
C（0， $\text{[math]}$ ，0），E（0，0， $\text{[math]}$ ），S（0，0，2），
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．（3分）
$\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =2-2+0=0，所以 $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ．即AC⊥BE．（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得 $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ，0，-2）， $\text{[math]}$ =（0， $\text{[math]}$ ，-2）．
设平面ACS的法向量为 $\text{[math]}$ =（x，y，z），
则由n⊥ $\text{[math]}$ ，n⊥ $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
取 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ．（9分）
易知平面ASD的一个法向量为 $\text{[math]}$ =（0， $\text{[math]}$ ，0）．
设二面角C-AS-D的平面角为θ．则 $\text{[math]}$ ．
即二面角C-AS-D的余弦值为 $\text{[math]}$ ．（12分）
分析：法一（Ⅰ）连接BD，证明AC垂直平面BDS内的两条相交直线SD，BD，即可证明AC⊥平面BDS，从而证明AC⊥BE；
（Ⅱ）过点D在平面SAD内作DF⊥AS于F，连接CF．说明∠CFD是二面角C-AS-D的平面角，通过解三角形CFD求二面角C-AS-D的余弦值．
法二：以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz．
（Ⅰ）求出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，计算 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，即可证明AC⊥BE；
（Ⅱ）求平面ACS的法向量为 $\text{[math]}$ ，平面ASD的一个法向量为 $\text{[math]}$ ，计算 $\text{[math]}$ ，求出二面角C-AS-D的余弦值．
点评：本题考查点、线、面间的距离计算，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，考查空间想象能力，逻辑思维能力，利用空间直角坐标系，解答立体几何问题，可以说是有一定的规律，要求比较高，不允许出错．