Question

设等差数列｛a_n｝的前n项和为S_n，已知a₃=12，S₁₂＞0，S₁₃＜0.

(1)求公差d的取值范围.

(2)指出S₁，S₂，…，S₁₂中哪一个值最大，并说明理由.

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)依题意有 由a3=12，得a1=12－2d， 又. (2)解法一： 由d＜0，可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13. 因此，若在1≤n≤12中，存在自然数n，使得an＞0，an+1＜0，则Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值. 由于S12=6(a6+a7)＞0，S13＝13a7＜0，即a6+a7＞0，a7＜0，由此得a6＞－a7＞0. 故在S1，S2，…，S12中S6的值最大. 解法二： Sn=na1+ =n(12－2d)+(n－1) d = ∵d＜0， ∴最小时，Sn最大. 当－＜d＜－3时，6＜ (5－)＜6.5 ∴n=6时，［n－］2最小 ∴S6最大. 解法三： 由d＜0，可知a1＞a2＞a3＞…＞a12 ＞a13. 因此，若在1≤n≤12中，存在自然数n，使得an＞0，an+1＜0，则Sn就是S1，S2，…，S12中的最大值. 由已知 故在S1，S2，…，S12中S6的值最大.