Question

已知函数f（x）=x²-（a+1）x+a，
（1）当a=2时，求关于x的不等式f（x）＞0的解集；
（2）求关于x的不等式f（x）＜0的解集；
（3）若f（x）+2x≥0在区间（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把a=2代入可构造不等式x²-3x+2＞0，解对应的方程，进而根据二次不等式“大于看两边”得到原不等式的解集．
（2）根据函数f（x）=x²-（a+1）x+a的解析式，可将f（x）＜0化为（x-a）（x-1）＜0，分类讨论可得不等式的解集．
（3）若f（x）+2x≥0在区间（1，+∞）上恒成立，即a≤

x2+x

x-1

在区间（1，+∞）上恒成立，利用换元法，结合基本不等式，求出函数的最值，可得实数a的取值范围．

解答：解：（1）当a=2时，则f（x）=x²-3x+2，由f（x）＞0，得x²-3x+2＞0，
令x²-3x+2=0，解得x=1，或x=2
∴原不等式的解集为（-∞，1）∪（2，+∞）
（2）由f（x）＜0得（x-a）（x-1）＜0，
令（x-a）（x-1）=0，得x₁=a，x₂=1，…5 分，
当a＞1时，原不等式的解集为（1，a）；…6 分，
当a=1时，原不等式的解集为∅；…（7分），
当a＜1时，原不等式的解集为（a，1）．…（8分）．
（2）由f（x）+2x≥0即x²-ax+x+a≥0在（1，+∞）上恒成立，
得a≤

x2+x

x-1

..…9 分，
令t=x-1（t＞0），
则

x2+x

x-1

=

(t+1)2+t+1

t

=t+

2

t

+3≥2

2

+3，…13 分
∴a≤2

2

+3．
故实数a的取值范围是(-∞，2

2

+3]…14 分

点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．