题目内容

已知 $数学公式$ ，且函数 $数学公式$ ，
（1）求f（x）的增区间；
（2）求f（x）在区间 $数学公式$ 上的最大、最小值及相应的x值．

解：（1）∵f（x）= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$
=3sin（ $\text{[math]}$ -2x）+2
=-3sin（2x- $\text{[math]}$ ）+2，
∴由2kπ+ $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ （k∈Z）可求其递增区间为：[kπ+ $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]（k∈Z）．
（2）∵- $\text{[math]}$ ≤x≤ $\text{[math]}$ ，
∴- $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，
∵g（x）=-sinx在[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]上单调递减，[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]上单调递增；
∴g（x）_max=g（- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，由2x- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ 得，x=- $\text{[math]}$ ；
g（x）_min=g（ $\text{[math]}$ ）=-1，由2x- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 得，x= $\text{[math]}$ ．
∴当x=- $\text{[math]}$ ，f（x）_max=3× $\text{[math]}$ +2= $\text{[math]}$ +2；
当x= $\text{[math]}$ 时，f（x）_min=3×（-1）+2=-1．
分析：（Ⅰ）由题意可求得f（x）= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =-3sin（2x- $\text{[math]}$ ）+2，从而可求得f（x）的增区间；
（Ⅱ）由- $\text{[math]}$ ≤x≤ $\text{[math]}$ 可求得- $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤0，利用正弦函数的性质可求得f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上的最大、最小值及相应的x值．
点评：本题考查正弦函数的单调性，以向量的数量积为载体考查正弦函数的定义域和值域，求得f（x）=-3sin（2x- $\text{[math]}$ ）+2是解决问题的关键，属于中档题．