Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{12}$），cos$\frac{x}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（cos（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{12}$），-cos$\frac{x}{2}$），x∈[$\frac{π}{2}$，π]，设函数f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$．
（1）若cosx=-$\frac{3}{5}$，求函数f（x）的值；
（2）将函数f（x）的图象先向右平移m个单位，再向上平移n个单位，使平移后的图象关于原点对称，若0＜m＜π，n＞0，试求6m+2n的值．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$，平面向量数量积运算求解f（x）的解析式，化简，利用cosx=-$\frac{3}{5}$，求函数f（x）的值；
（2）根据三角函数的平移变换规律，平移后的图象关于原点对称，求解出m，n的值，可得6m+2n的值．

解答 解：由题意：函数f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{12}$）cos（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{12}$）-$co{s}^{2}\frac{x}{2}$=$\frac{1}{2}$sin（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cosx=$\frac{1}{2}$sinxcos$\frac{π}{6}$+$\frac{1}{2}$cosxsin$\frac{π}{6}$-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cosx=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sinx-$\frac{1}{4}$cosx-$\frac{1}{2}$
（1）若cosx=-$\frac{3}{5}$，x∈$[\frac{π}{2}，π]$，则sinx=$\sqrt{{1-cos}^{2}x}$=$\frac{4}{5}$，
则f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sinx$-\frac{1}{4}$cosx-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{4}{5}$$+\frac{3}{5}×\frac{1}{4}$$-\frac{1}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}-7}{20}$
（2）将函数f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sinx-$\frac{1}{4}$cosx-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$sin（x$-\frac{π}{6}$）$-\frac{1}{2}$的图象先向右平移m个单位，再向上平移n个单位，可得g（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（x-m$-\frac{π}{6}$）$-\frac{1}{2}$+n图象关于原点对称，
 即-m-$\frac{π}{6}$=kπ，-$\frac{1}{2}+n$=0，（k∈Z）
∵0＜m＜π，n＞0，
∴$m=\frac{5π}{6}$，n=$\frac{1}{2}$
那么：6m+2n=5π+1．

点评 本题考查了平面向量数量积运算，三角函数化简能力，以及三角函数的平移变换规律和性质的运用，属于中档题．