Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx满足条件：①f（0）=f（1）；  ②f（x）的最小值为-．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设数列{a_n}的前n项积为T_n，且T_n=（）^f（n），求数列{a_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，若5f（a_n）是b_n与a_n的等差中项，试问数列{b_n}中第几项的值最小？求出这个最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中二次函数f（x）=ax²+bx满足条件：①f（0）=f（1）；  ②f（x）的最小值为-结合二次函数的性质，我们构造关于a，b的方程，解方程求出a，b的值，即可求出函数f（x）的解析式；
（2）由已知中T_n=（）^f（n），根据a_n=，我们可以求出n≥2时，数列的通项公式，判断a₁=T₁=1是否符合所求的通项公式，即可得到数列{a_n}的通项公式；
（3）根据等差中项的定义，及5f（a_n）是b_n与a_n的等差中项，我们易判断数列{b_n}的单调性，进而求出数列{b_n}的最小值，及对应的项数．
解答：解：（1）由题知：，
解得，
故f（x）=x²-x．…（4分）
（2）T_n=a₁•a₂•…•a_n=，
T_n-1=a₁•a₂•…•a_n-1=（n≥2）
∴a_n==（n≥2），
又a₁=T₁=1满足上式．
所以a_n=．…（9分）（验证a₁1分）
（3）若5f（a_n）是b_n与a的等差中项，则2×5f（a_n）=b_n+a_n，
从而=b_n+a_n，
b_n=5a_n²-6a_n=．
因为a_n=是n的减函数，所以
当a_n≥，即n≤3时，b_n随n的增大而减小，此时最小值为b₃；
当a_n＜，即n≥4时，b_n随n的增大而增大，此时最小值为b₄．
又|a₃-|＜|a₄-|，所以b₃＜b₄，即数列{b_n}中b₃最小，且b₃=-．…（16分）
点评：本题考查的知识点是函数解析式的求解及常用方法，数列的函数特性，等比数列的通项公式，其中熟练掌握数列问题的处理方法，如a_n=，等差中项，是解答本题的关键．