Question

（2013•黄浦区二模）已知复数z₁=sinx+λi，z2=(sinx+

3

cosx)-i（λ，x∈R，i为虚数单位）．
（1）若2z₁=z₂i，且x∈（0，π），求x与λ的值；
（2）设复数z₁，z₂在复平面上对应的向量分别为

OZ1

，

OZ2

，若

OZ1

⊥

OZ2

，且λ=f（x），求f（x）的最小正周期和单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）利用复数的运算法则和复数相等及特殊角的三角函数值即可得出；
（2）利用向量的垂直与数量积的关系可得可得sinx(sinx+

3

cosx)-λ=0，再利用倍角公式和两角和差的正弦公式即可化简，利用三角函数的周期公式和单调性即可得出．

解答：解：（1）由2z₁=z₂i，可得2sinx+2λi=1+(sinx+

3

cosx)i，又λ，x∈R，
∴

2sinx=1 2λ=sinx+ 3 cosx

又x∈（0，π），
故

x= π 6 λ=1

或

x= 5π 6 λ=- 1 2

．
（2）

OZ1

=(sinx，λ)，

OZ2

=(sinx+

3

cosx，-1)，
由

OZ1

⊥

OZ2

，可得sinx(sinx+

3

cosx)-λ=0，
又λ=f（x），故f(x)=sin2x+

3

sinxcosx=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x=sin(2x-

π

6

)+

1

2

，
故f（x）的最小正周期T=π，
又由2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

(k∈Z），可得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，
故f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]（k∈Z）．

点评：熟练掌握复数的运算法则和复数相等及特殊角的三角函数值、向量的垂直与数量积的关系、倍角公式和两角和差的正弦公式、三角函数的周期公式和单调性是解题的关键..