Question

已知函数
（1）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求的值；
（2）是否存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由；
（3）若存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]（m≠0）．求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵
∴f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上是增函数．
由0＜a＜b，且f（a）=f（b），
可得 0＜a＜1＜b且．
所以．
（2）不存在满足条件的实数a，b．
若存在满足条件的实数a，b，则0＜a＜b
①当a，b∈（0，1）时，在（0，1）上为减函数．
故即
解得 a=b．
故此时不存在适合条件的实数a，b．
②当a，b∈[1，+∞）时，在（1，+∞）上是增函数．
故
即
此时a，b是方程x²-x+1=0的根，此方程无实根．
故此时不存在适合条件的实数a，b．
当a∈（0，1），b∈[1，+∞）时，由于1∈[a，b]，而f（1）=0∉[a，b]，
故此时不存在适合条件的实数a，b．
综上可知，不存在适合条件的实数a，b．
（3）若存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]．
则a＞0，m＞0．
当此时得a，b异号，不符合题意，所以a，b不存在．
a，b∈（0，1）时，由于f（x）在（0，1）上是减函数，
故
当a∈（0，1），b∈[1，+∞）时，易知0在值域内，值域不可能是[ma，mb]，
所以a，b不存在．　　　　　　
故只有a，b∈[1，+∞）
∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴即
1，b是方程mx²-x+1=0的两个根．
即关于x的方程mx²-x+1=0有两个大于1的实根．设这两个根为x₁，x₂．
则x₁+x₂=，x₁•x₂=．
∴
即
解得 ．
故m的取值范围是．
分析：（1）根据分段函数，可知f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上是增函数．利用f（a）=f（b），可求的值；
（2）假设存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域、值域都是[a，b]，分三种情况讨论：a，b∈（0，1）；a，b∈[1，+∞）；a∈（0，1），b∈[1，+∞），分别利用相应函数解析式求解即可；
（3）与（2）同样思路：分三种情况讨论：a，b∈（0，1）；a，b∈[1，+∞）；a∈（0，1），b∈[1，+∞），分别利用相应函数解析式求解即可的结论．
点评：本题的考点是函数与方程的综合应用，主要考查已知分段函数，研究函数的定义域与值域，利用方程的思想解决函数问题，有一定的难度．