Question

如图所示的正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AA₁∶AB=2∶1,E、F分别为面A₁C₁和面BC₁的中心.求

（1）异面直线CE与AF所成的角；

（2）A₁F与平面BCC₁B₁所成的角；

（3）二面角B—A₁C₁—C的大小.

Answer 1

解：如图，以D为原点，DA为Ox轴正方向，DC为Oy轴正方向，DD₁为Oz轴正方向建立空间直角坐标系.?

∵A₁A∶AB=2∶1,可设AB=2，由此得到相应各点的坐标分别为A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（1，1，4），F（1，2，2），A₁（2，0，4），B₁（2，2，4），∴=（1，-1，4），=（-1，2，2），=（-1，2，-2），=（-1，0，-2），=（0，0，-4），=（1，1，-4）.?

(1)设异面直线CE和AF所成的角为α,则 ?

cosα＝==,?

∴α=arccos,此即异面直线CE和AF所成的角.?

(2)∵A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，?

∴A₁F与平面BCC₁B₁，所成的角为∠A₁FB₁（设为β）.?

则cosβ=?

==.?

∴β=arccos.?

此即为A₁F与平面BCC₁B₁所成的角.?

(3)∵EB⊥A₁C₁，A₁A⊥A₁C₁，并设二面角B—A₁C₁—C的平面角为γ.?

则cosγ===,?

∴γ=arccos.?

此即为所求二面角B—A₁C₁—C的大小.