Question

已知 f（x）=ax²+c的图象经过点（2，1），且在x=1处的切线方程是2x-4y-1=0
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）点P是直线y=-1上的动点，自点P作函数f（x）的图象的两条切线PA、PB（点A、B为切点），求证直线AB经过一个定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

（1）因为f′（x）=2ax，…（1分）
而切线2x-4y-1=0的斜率为

1

2

，所以2a=

1

2

，a=

1

4

又图象经过点（2，1），所以4a+c=1，那么c=0，
所以函数f(x)=

1

4

x2…（5分）
（2）设点P（x₀，-1），切点坐标为(t，

1

4

t2)，f′(x)=

1

2

x，
那么切线的斜率为

1

2

t，…（6分）
所以切线方程为y-

1

4

t2=

t

2

(x-t)，整理得到：y=

t

2

x-

1

4

t2，…（8分）
此切线经过点P（x₀，-1），则t²-2x₀t-4=0，…（9分）
再分别设两切点坐标为A(t1，

1

4

t

21

)，B(t2，

1

4

t

22

)，
那么t₁t₂=-4，t₁+t₂=2x₀，…（10分）
又直线AB的斜率KAB=

1 4 t 21 - 1 4 t 22

t1-t2

=

1

4

(t1+t2)，…（11分）
所以直线AB的方程为y-

1

4

t

21

=

1

4

(t1+t2)(x-t1)
整理得到：y=

1

2

x0x-

1

4

t1t2，而t₁t₂=-4，
所以直线AB的方程为y=

1

2

x0x+1，…（13分）
所以直线AB经过定点（0，1）…（14分）