Question

【题目】（12分）如图，椭圆 （）的离心率，短轴的两个端点分别为B1、B2，焦点为F1、F2，四边形F1 B1F2 B2的内切圆半径为

（1）求椭圆C的方程；

（2）过左焦点F1的直线交椭圆于M、N两点，交直线于点P，设，，试证为定值，并求出此定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

试题解析：（1）设四边形F1B1F2B2的内切圆与边B1B2的切点为G，连接OG，则|OG|=

由S△OB2F2=|OB2||OF2|=|B2F2||OG|，|OB2|=b， |OF2|=c， |B2F2|=a，得bc=a

又∵e=

解得a=2，b=

故椭圆方程为：

（2）设直线MN的方程为y=k（x+1）代入椭圆方程，整理得

（3+4k2）x2+8k2x+4（k2-3）=0

设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则x1+ x2= ，x1x2=

又P（-4，-3k），F2（-1，0）

由 ， 得

，

∴

∵

∴为定值