Question

【题目】已知椭圆C1： （a＞b＞0）的离心率为e＝，过C1的左焦点F1的直线l：x－y＋2＝0，直线l被圆C2： ＋＝（r>0）截得的弦长为2．

（1）求椭圆C1的方程：

（2）设C1的右焦点为F2，在圆C2上是否存在点P，满足｜PF1｜＝｜PF2｜，若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在

【解析】试题分析：（I）求出F1点坐标即可得出c，进而利用离心率得出a，b，求出椭圆方程；

（II）利用垂径定理求出圆C2的半径r，根据|PF1|=|PF2|列方程求出P点轨迹方程，根据轨迹与圆C2有无交点得出结论．

试题解析：

（Ⅰ）直线与x轴的交点坐标为（﹣2，0），∴F1（﹣2，0）．

即c=2，又e==，∴a=4，b==2，

∴椭圆C1的方程为．

（Ⅱ）∵圆心C2（3，3）到直线l的距离d==，

又直线l被圆C2截得的弦长为2，

∴圆C2的半径r==2，

故圆C2的方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2=4．

设圆C2上存在点P（x，y），满足｜PF1｜＝｜PF2｜，即|PF1|=|PF2|，

又F1（﹣2，0），F2（2，0），∴，

整理得（x﹣14）2+y2=192，表示圆心在C（14，0），半径是8的圆．

∴|CC2|=，

∴两圆没有公共点．

∴圆C2上不存在点P满足｜PF1｜＝｜PF2｜．