题目内容

已知点M是△ABC的中线AD上的一点，直线BM交边AC于点N，且AB是△NBC的外接圆的切线，设
BC
BN
=λ，试求
BM
MN
（用λ表示）．
分析：过点N作NE∥AD，交CD于点E．利用平行线的性质证出
AN
AC
=
DE
DC
且
BM
MN
=
BD
DE
，两式相乘并结合BD=BC化简，证出
AC
AN
=
BM
MN
．由弦切角定理和相似三角形的判定证出△ABN∽△ACB，得到对应边成比例，从而根据比例的性质证出
AC
AN
=(
BC
BN
)2，再结合题意
BC
BN
=λ，可得
BM
MN
=
AC
AN
=(
BC
BN
)2．
解答：证明：过点N作NE∥AD，交CD于点E，可得精英家教网
∵△ACD中，NE∥AD，∴
AN
AC
=
DE
DC

同理可得
BM
MN
=
BD
DE
，
∴
AN
AC
•
BM
MN
=
BD
DE
•
DE
DC
=
BD
DC
．
因为BD=BC，所以
AN
AC
•
BM
MN
=1，可得
AC
AN
=
BM
MN
．
∵AB是△NBC的外接圆的切线，
∴∠ABN=∠C，可得△ABN∽△ACB，则
AB
AN
=
AC
AB
=
BC
BN
．
∴
AB
AN
•
AC
AB
=(
BC
BN
)2，即 
AC
AN
=(
BC
BN
)2．
∵
AC
AN
=
BM
MN
，
∴
BM
MN
=(
BC
BN
)2，结合已知
BC
BN
=λ，可得
BM
MN
=λ2．
点评：本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质、弦切角定理和比例的性质及其应用等知识，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知下列命题：其中正确命题的序号是
 
（把你认为正确命题的序号都填上）
A．
AB
=（-3，4），则
AB
按向量
a
=（-2，1）平移后的坐标仍是（-3，4）；
B．已知点M是△ABC的重心，则
MA
+
MB
+
MC
=0；
C．函数y=f（x-2）和y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称．
D．已知函数y=2sin（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）为偶函数，其图象与直线y=2的交点的横坐标为x1，x2若|x1-x2|的最小值为π，则ω的值为2，θ的值为
π
2
．
已知点M是△ABC的重心，则
MA
+
MB
+
MC
=
0
0
．
已知下列命题：①=0；②若向量=(-3,4),则按向量a=(-2,1)平移后的坐标仍是（－3，4）；③“向量b与向量a的方向相反”是“b与a互为相反向量”的充分不必要条件；④已知点M是△ABC的重心，则=0.其中正确命题的序号是________（把你认为正确命题的序号都填上）.

已知下列命题： ①；②若向量按向量平移后的坐标仍是（－3，4）；③“向量的方向相反”是“互为相反向量”的充分不必要条件；④已知点M是△ABC的重心，则。

其中正确命题的序号是__________.

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