Question

已知点P在椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，F₁、F₂分别为椭圆C的左、右焦点，满足|PF₁|=6-|PF₂|，且椭圆C的离心率为

5

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点Q（1，0）且不与x轴垂直的直线l与椭圆C相交于两个不同点M、N，在x轴上是否存在定点G，使得

GM

•

GN

为定值．若存在，求出所有满足这种条件的点G的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）因为|PF₁|=6-|PF₂|，所以2a=6，即a=3
又

c

a

=

5

3

，所以c=

5

，b²=a²-c²=4
所以椭圆C的方程为

x2

9

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）假设存在符合条件的点G（t，0），因l不垂直于x轴，设直线l的方程为y=k（x-1），
与椭圆C：

x2

9

+

y2

4

=1联立并消去y得：（4+9k²）x²-18k²x+9k²-36=0
∵点Q（1，0）在椭圆内部，∴直线l必与椭圆有两个不同交点．
设点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），则x1+x2=

18k2

4+9k2

，x1x2=

9k2-36

4+9k2

．

GM

=(x1-t，y1)，

GN

=(x2-t，y2)

GM • GN =(x1-t)(x2-t)+y1y2 ，=x1x2-(x1+x2)t+t2+k2(x1-1)(x2-1) ，=(1+k2)x1x2-(x1+x2)(t+k2)+t2+k2

=(1+k2)

9k2-36

4+9k2

-

18k2

4+9k2

(t+k2)+t2+k2．（﹡）
解法一：设

GM

•

GN

=s，则(1+k2)

9k2-36

4+9k2

-

18k2

4+9k2

(t+k2)+t2+k2=s，
整理得：（9t²-18t-9s-23）k²+4t²-4s-36=0，此式对任意k∈R恒成立；
所以

9t2-18t-9s-23=0 4t2-4s-36=0

，解得

t= 29 9 s= 112 81

．
∴存在这样的定点G(

29

9

，0)满足题意．
解法二：由（﹡）式得：

GM • GN = (1+k2)(9k2-36)-18k2(t+k2)+k2(9k2+4) 9k2+4 +t2 = -27k2-36-18tk2+4k2 9k2+4 +t2= -3(9k2+4)-24-18tk2+4k2 9k2+4 +t2

=

-24-18tk2+4k2

9k2+4

+t2-3=

4 9 (9k2+4)- 16 9 -24-18tk2

9k2+4

+t2-3
=

-2t(9k2+4)- 16 9 -24+8t

9k2+4

+t2-3+

4

9

=

8t- 232 9

9k2+4

+t2-2t-

23

9

．
若

GM

•

GN

为定值，则

8t- 232 9

9k2+4

+t2-2t-

23

9

对任意k∈R恒为常数，
所以必有8t-

232

9

=0，即t=

29

9

．
从而

GM

•

GN

=t2-2t-

23

9

=

112

81

．
所以存在这样的定点G(

29

9

，0)满足题意．