Question

研究某灌溉渠道水的流速Y与水深x之间的关系，测得一组数据如下：

水深x/m	1.40	1.50	1.60	1.70	1.80	1.90	2.00	2.10
流速Y/(m·s-1)	1.70	1.79	1.88	1.95	2.03	2.10	2.16	2.21

（1）求Y对x的回归直线方程；

（2）预测水深为1.95 m时水的流速是多少？

Answer 1

思路分析：从散点图可以直观地看出变量x与Y之间有无线性相关关系，为此把这8对数据描绘在平面直角坐标系中，得到平面上8个点，如图所示.

由图容易看出，x与Y之间有近似的线性相关关系，或者说，可以用一个回归直线方程=a+bx来反映这种关系，这些是我们在必修模块数学3中学过的知识.

进一步观察这8个点，容易发现它们并不是“严格地”在一条直线上，对于某个x_i，由上式能确定一个=a+bx_i，一般地说，由于测量流速可能存在误差，或者受某些随机因素的影响，或者上面的回归直线方程本身就不够精确，与测得的数据y_i很可能不相等，即y_i=_i+e_i(i=1,2,…,8),其中e_i是随机误差项.于是，就有y_i=a+bx_i+e_i(i=1,2,…,8),这就是本题的线性模型.

从上述线性模型出发，我们可以求出a与回归系数b的估计值,，使得全部误差e₁,e₂,…,e₈的平方和达到最小，当然，这是一种很好的估计.最后得到的求,的数学公式为

=

.

解析：（1）可采用列表的方法计算a与回归系数b.

序号	x	y	x2	xy
1	1.40	1.70	1.96	2.380
2	1.50	1.79	2.25	2.685
3	1.60	1.88	2.56	3.008
4	1.70	1.95	2.89	3.315
5	1.80	2.03	3.24	3.654
6	1.90	2.10	3.61	3.990
7	2.00	2.16	4.00	4.320
8	2.10	2.21	4.41	4.641
∑	14.001	5.822	4.922	7.993

于是，=×14.00=1.75, =×15.82=1.977 5,

=≈0.733.

=1.977 5-×1.75≈0.694.

Y对x的回归直线方程为

=+x=0.694+0.733x.

回归系数=0.733的意思是，在此灌溉渠道中，水深每增加0.1 m，水的流速平均增加0.733 m/s(本例数据是以0.1 m为水深间隔测得的），=0.694可以解释为水的流速中不受水深影响的部分.

（2）由（1）中求出的回归直线方程，把x=1.95代入，易得

=0.694+0.733×1.95≈2.12(m/s).

计算结果表明，当水深为1.95 m时可以预测渠水的流速约为2.12 m/s.