Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）设，证明：当时， .

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）对其进行求导： ，分为当时和当时两种情形，根据导数与0的关系可得结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时， 在单调递增，在单调递减，讨论与1， 的大小关系，先证，再证，得函数在上的单调性，可得最值，得结果.

试题解析：（Ⅰ）解： 定义域为，

，

由可得.

①当时， ，∴.

由于， ，

所以在单调递减；在单调递增.

②当时， ，∴.

由于， ，

所以在单调递增；在单调递减.

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当时， 在单调递增，在单调递减，因此需讨论与1， 的大小关系，

令，

则，

所以在递减，所以，即.

令，则，所以在递增，

所以.

故，因此在单调递增，在单调递减.

又，所以.