Question

已知函数
（1）求函数f（x）的定义域
（2）证明函数f（x）在（-∞，0）上为减函数．

Answer 1

解：（1）
又∵2^x-1≠0?x≠0，
∴函数f（x）的定义域{x|x∈R且x≠0}，
（2）设x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂
则，
∵x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，
∴且，
∴＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）
∴根据函数单调性的定义知：函数f（x）在（-∞，0）上为减函数．
分析：（1）要是函数有意义，只需函数分母不为零即可，解这个指数不等式即可得函数的定义域；
（2）利用函数单调性的定义，设x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，利用作差法证明f（x₁）＞f（x₂），进而证明函数f（x）在（-∞，0）上为减函数
点评：本题主要考查了函数定义域的求法，函数单调性的定义，证明函数单调性的方法，指数不等式的解法与指数函数的单调性的应用，属基础题