Question

（2012•芜湖二模）已知函数f(x)=(x2-x-

1

a

)•eax(a＞0)
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间．
（2）若不等式f(x)+

3

a

≥0对任意的x∈R恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=2时，根据函数解析式，求出函数的导函数，分析导函数的符号，进而判断出函数f（x）的单调区间．
（2）令f'（x）=0，根据导函数零点，分段讨论函数的单调性和最值，进而根据不等式f(x)+

3

a

≥0对任意的x∈R恒成立，-

3

a

不大于函数的最小值，构造关于a的方程

解答：解：（1）当a=2时，
f(x)=(x2-x-

1

2

)•e2x
f'（x）=e^2x•（2x²-2）=2e^2x•（x+1）（x-1）
∵x∈（-1，1）时，f'（x）＜0，x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，f'（x）＞0，
∴减区间为（-1，1），增区间为（-∞，-1）和（1，+∞）…（5分）
（2）f'（x）=e^ax•（ax+2）（x-1）
令f'（x）=0，则x=-

2

a

或x=1
∵a＞0
列表

x	（-∞，- 2 a ）	- 2 a	（- 2 a ，1）	1	（1，+∞）
f'x	+	0	-	0	+
f（x）		极大值		极小值

∴当x=1时，f（x）有最小值f(1)=-

1

a

ea＜0
∴依题意-

1

a

ea≥-

3

a

即可
∴e^a≤3⇒a≤ln3
解得0＜a≤ln3…（12分）

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性及函数的最值，函数恒成立问题，这导数应用的经典题型