题目内容
已知函数f（x）=2ax-x3，x∈（0，1]，a＞0，若f（x）在（0，1]上单调递增，则实数a的取值范围是
a≥
| 3 |
| 2 |
a≥
．| 3 |
| 2 |
分析：因为当函数为增函数时，导数恒大于等于0，所以若f（x）在（0，1]上单调递增，则在（0，1]上，f′（x）≥0恒成立，分离x与a，若2a≥3x2在（0，1]上恒成立，则2a一定大于等于3x2在（0，1]上的最大值，再求3x2在（0，1]上
的最大值即可．
的最大值即可．
解答：解：f（x）=2ax-x3的导数为f′（x）=2a-3x2，
∵f（x）在（0，1]上单调递增，∴在（0，1]上，f′（x）≥0恒成立
即在（0，1]上，2a-3x2≥0恒成立．
∴2a≥3x2在（0，1]上恒成立
∴a≥
故答案为a≥
∵f（x）在（0，1]上单调递增，∴在（0，1]上，f′（x）≥0恒成立
即在（0，1]上，2a-3x2≥0恒成立．
∴2a≥3x2在（0，1]上恒成立
∴a≥
| 3 |
| 2 |
故答案为a≥
| 3 |
| 2 |
点评：本题主要考查了导数与函数的单调区间的关系以及恒成立问题的解法，属于导数的应用．
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