Question

（本小题满分16分）

设定义在区间[x₁， x₂]上的函数y=f(x)的图象为C，M是C上的任意一点，O为坐标原点，设向

量=，，=(x，y)，当实数λ满足x=λ x₁+(1－λ) x₂时，记向

量=λ+(1－λ)．定义“函数y=f(x)在区间[x₁，x₂]上可在标准k下线性近似”是指

“k恒成立”，其中k是一个确定的正数．

（1）设函数 f(x)=x²在区间[0，1]上可在标准k下线性近似，求k的取值范围；

（2）求证：函数在区间上可在标准k=下线性近似．

（参考数据：e=2.718，ln(e－1)=0.541）

Answer 1

【解】（1）由=λ+(1－λ)得到=λ，

所以B，N，A三点共线，                                        ……………………2分

又由x=λ x₁+(1－λ) x₂与向量=λ+(1－λ)，得N与M的横坐标相同． ……………4分

对于 [0，1]上的函数y=x²，A(0，0)，B(1，1)，

则有，故；

所以k的取值范围是．                                    ……………………6分

（2）对于上的函数，

A()，B()，                                       ……………………8分

则直线AB的方程，                        ……………………10分

令，其中，

于是，                                       ……………………13分

列表如下：

x	em	(em，em+1－em)	em+1－em	(em+1－em，em+1)	em+1
		+	0	－
	0	增		减	0

则，且在处取得最大值，

又0.123，从而命题成立．        ……………………16分