Question

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠ACB=90°，点B₁在底面内的射影恰好是BC的中点，且BC=CA．
（1）求证：平面ACC₁A₁⊥平面B₁C₁CB；
（2）若二面角B-AB₁-C₁的余弦值为，设，求λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）取BC中点M，连接B₁M，则B₁M⊥面ABC，故面BB₁C₁C⊥面ABC，由BC=面BB₁C₁C∩面ABC，AC⊥BC，知AC⊥面BB₁C₁C，由此能够证明面ACC₁A₁⊥面BCC₁B₁．
（2）以CA为ox轴，CB为oy轴，过点C与面ABC垂直方向为oz轴，建立空间直角坐标系，设AC=BC=2，B₁M=t，则，，，面AB₁B法向量，面AB₁C₁法向量，由此能求出λ的值．
解答：解：（1）取BC中点M，连接B₁M，
则B₁M⊥面ABC，
∴面BB₁C₁C⊥面ABC，
∵BC=面BB₁C₁C∩面ABC，AC⊥BC，
∴AC⊥面BB₁C₁C，
∵AC?面ACC₁A₁，
∴面ACC₁A₁⊥面BCC₁B₁．
（2）以CA为ox轴，CB为oy轴，
过点C与面ABC垂直方向为oz轴，
建立空间直角坐标系，设AC=BC=2，B₁M=t，
∵B₁M⊥面ABC，M是BC中点，
∴A（2，0，0），B（0，2，0），B₁（0，1，t），C₁（0，-1，t），
即，，，
设面AB₁B法向量
∵，，
∴，
∴；
设面AB₁C₁法向量，
∵，，
∴，
∴，
∵二面角B-AB₁-C₁的余弦值为，
∴cos＜，＞==，
∴解得，
∴BB₁==2，
∴AA₁=BB₁=2，
∴λ===1．
点评：本题考查平面与平面的垂直的证明，求λ的值．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．