题目内容
（Ⅰ）已知a＞b＞0，求证：
-
＜
；
（Ⅱ）已知x，y，z均为实数，且a=x2-2y+
，b=y2-2z+
，c=z2-2x+
求证：a，b，c中至少有一个大于0．
| a |
| b |
| a-b |
（Ⅱ）已知x，y，z均为实数，且a=x2-2y+
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
分析：（Ⅰ）利用综合法，证明0＜（
-
）2＜（
）2即可；
（Ⅱ）采用反证法，a、b、c中至少有一个大于零对立面是没有一个大于0．故可假设三者皆小于等于0推出矛盾来．
| a |
| b |
| a-b |
（Ⅱ）采用反证法，a、b、c中至少有一个大于零对立面是没有一个大于0．故可假设三者皆小于等于0推出矛盾来．
解答：证明：（Ⅰ）∵a＞b＞0，∴b＜
，∴2b＜2
∴-2
＜-2b
∴a-2
+b＜a+b-2b
∴0＜（
-
）2＜（
）2
∴
-
＜
；
（Ⅱ）假设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a+b+c≤0．
而a+b+c=x2-2y+
+y2-2z+
+z2-2x+
=（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2+π-3，
∵π-3＞0，且无论x、y、z为何实数，（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2≥0，
∴a+b+c＞0，这与a+b+c≤0矛盾
因此，a、b、c中至少有一个大于0．
| ab |
| ab |
∴-2
| ab |
∴a-2
| ab |
∴0＜（
| a |
| b |
| a-b |
∴
| a |
| b |
| a-b |
（Ⅱ）假设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a+b+c≤0．
而a+b+c=x2-2y+
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
∵π-3＞0，且无论x、y、z为何实数，（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2≥0，
∴a+b+c＞0，这与a+b+c≤0矛盾
因此，a、b、c中至少有一个大于0．
点评：本题的考点是不等式的证明，考查综合法与反证法．反证法，其特征是先假设命题的否定成立，推证出矛盾说明假设不成立，得出原命题成立．反证法一般适合用来证明正面证明较麻烦，而其对立面包含情况较少的情况．
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