Question

【题目】已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆C上的点到椭圆右焦点F的最小距离为 .
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F且不与坐标轴平行的直线l与椭圆C交于A,B两点，线段AB的中点为M， O为坐标原点，直线 的斜率分别为 若成等差数列，求直线l的方程.

Answer 1

【答案】
（1）解: 点F的坐标为 ,由题意可得:

得

∴椭圆C的方程为

（2）解: 设点 ,又 ,故直线l的方程可设为 ,

由 ,得 ,

.

又 成等差数列，

,即 ，故直线l的方程为 ，

即

【解析】(1)由椭圆的离心率可得出a与c的关系,进而可得出当点位于右顶点时到椭圆右焦点F的最小距离为：a-c=-1,再结合椭圆里的关系求出a和b的值故得到椭圆的方程。(2)先设出直线l的方程代入椭圆的方程结合韦达定理以及中点坐标的公式，即可求得MP的方程然后求得x0、y0关于t的代数式，再利用直线的斜率成等差数列得到关于t的方程，解出其值就求出了斜率的斜率，再利用直线的斜截式求出直线的方程。
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线的斜率(一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα)．