Question

（2005•东城区一模）已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n=a_n-1+

1

an-1

（n=2，3，4，…）
（1）求a₂，a₃的值；
（2）证明当n=2，3，4，…时，

2n-1

＜a_n≤

3n-2

．

Answer 1

分析：（1）将a₁=1代入已知递推关系式即可得a₂，再将a₂代入即可得a₃，
（2）利用不等式的性质和累加法的思想，分别将an2的通项公式放大和缩小即可

解答：解：（1）∵a₁=1
∴a₂=a₁+

1

a1

=1+1=2，a₃=a2+

1

a2

=2+

1

2

=

5

2

（2）当k=2，3，4，5…时，ak2=(ak-1+

1

ak-1

) 2=ak-12+

1

ak-12

+2＞ak-12+2
∴ak2-ak-12＞2
∴an2-a12=

n

k=2

(ak2-ak-12)＞2（n-1）
∴an2＞a12+2（n-1）=2n-1
∴an＞

2n-1

     ①
又∵，a₁=1，a_k=a_k-1+

1

ak-1

（k=2，3，4，…），∴a_k-1＞0，∴a_k＞a_k-1≥a₁=1
∴an2-a12=

n

k=2

(ak2-ak-12)=2（n-1）+

n

k=2

1

ak-12

≤2（n-1）+（n-1）×1=3n-3
∴an2≤3n-3+a12=3n-2
∴a_n≤

3n-2

．   ②
由①②得：n=2，3，4，…时，

2n-1

＜a_n≤

3n-2

．

点评：本题考查了数列递推公式的应用，由数列的递推公式研究数列的通项公式的方法，累加法求和的思想，放缩法证明数列不等式