Question

已知函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用函数为偶函数的定义寻找关于k的方程是求解本题的关键，转化过程中要注意对数的运算性质的运用；
（2）根据函数类型和对数的运算性质将函数化成一个对数式的形式是解决本题的关键，注意基本不等式的运用．

解答：解：（1）由函数f（x）是偶函数，可知f（x）=f（-x）
∴log₄（4^x+1）+kx=log₄（4^-x+1）-kx
即log4

4x+1

4-x+1

=-2kx，log₄4^x=-2kx∴
x=-2kx对一切x∈R恒成立，∴k=-

1

2

（2）k=-

1

2

时，f(x)=log4(4x+1)-

1

2

x=log4

4x+1

2x

=log4(2x+

1

2x

)
∵2x+

1

2x

≥2∴log4(2x+

1

2x

)≥

1

2

，所以f（x）的值域为[

1

2

，+∞)

点评：本题考查函数为偶函数的定义，考查对数的运算性质，考查学生的转化与化归思想，考查函数值域的求法，用到基本不等式求函数的值域．注意学生的运算整理变形的等价性．