Question

【题目】已知函数，.

（1）求函数在上的最大值；

（2）若函数在区间上有零点，求的取值范围；

（3）求证：.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）证明见解析

【解析】

（1）对求导得，判断在上的单调性即可求得在上的最大值；

（2）将在区间上有零点转化为有解，分离参数后构造新的函数，利用导数求得的范围，再结合，确定的范围；

（3）由（1）知，，利用对数的运算性质将化成，而，原不等式右侧可利用放缩和裂项相消求得，又，原不等式左侧也可得证，从而证明不等式成立.

（1），，

在上单调递减，，

当时，，

在上单调递减，

．

（2）函数在上有零点

有解在上有解且．

令，，

因为，

令，解得，

在上单调递增，上单调递减，

又，，

即，故．

又，得，

综上可得，.

（3）证明：由（1）知，，

所以时，．

设，

则，

，

所以

所以

又因为

所以

故结论成立.