Question

已知某运动物体做变速直线运动，它的速度v是时间t的函数v(t)，求物体在t=0到t=t₀这段时间内所经过的路程s.?

      

Answer 1

解：（1）分割?

       将时间区间［0，t₀］分成n等份：?

       ［］(i=1,2,…,n)，?

       每个小区间所表示的时间为Δt=;?

       各区间物体运动的距离记作Δs_i(i=1,2,…,n).?

       (2)近似代替?

       在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的距离：?

在小区间［］上任取一时刻ξ_i(i=1,2,…,n).用时刻ξ_i的速度v(ξ_i)近似代替第i个小区间上的速度.由匀速直线运动的路程公式，每个小区间物体运动所经过的距离可以近似地表示为Δs_i≈v(ξ_i)Δt(i=1,2,…,n).?

       (3)求和?

       因为每个小区间上物体运动的距离可以用这一区间上做匀速直线运动的路程近似代替，所以在时间［0，t₀］范围内物体运动的距离s，就可以用这一物体分别在n个小区间上做n个匀速直线运动的路程和近似代替，即s=Δs_i≈v(ξ_i)Δt.                   ①?

       (4)求极限?

       求和式①的极限：?

       当所分时间区间愈短，即Δt=愈小时，和式①的值就愈接近s.因此，当n→∞,即Δt=→0时，和式①的极限，就是所求的物体在时间区间［0，t₀］上所经过的路程.?

       由此得到s= (ξ_i)Δt.?

       温馨提示：s= (ξ_i)Δt为做变速直线运动的物体在［0，t₀］这段时间内所运动的路程，其中ξ_i为区间［］上的任意值，取ξ_i=时，s= （）Δt;取ξ_i=时，s= ()Δt;取ξ_i=时，s=(Δt等.当物体做匀速直线运动时，上面的结论仍然成立.